Principio de antisimetría de Pauli.

Wolfgang Pauli.

Nacido el 25 April 1900 in Vienna, Austria.

Falleció el 15 Dec 1958 in Zurich, Switzerland

Hasta ahora, tan solo hicimos mención de la existencia de otra propiedad en los electrones, la cual surgía del tratamiento relativista de la Mecánica Cuántica, y que explicaba diversos efectos experimentales, era el espín electrónico.

Hemos visto que la función de orden cero para el estado fundamental la podíamos escribir como $\Psi =\phi _{1s}(1) \phi _{1s}(2)$. Para tener en cuenta el espín, debemos multiplicar la parte espacial por la de espín, y como tenemos el producto de dos electrones, tendremos el producto de dos funciones de espín. Ya que cada electrón tiene dos posibles estados de espín, es decir puede venir descrito por cualquiera de las dos funciones de espín $\alpha$ o $\beta$, tendremos las cuatro posibilidades siguientes:

$$\alpha (1)\alpha (2)\qquad \qquad \beta (1)\beta (2)\qquad \qquad \alpha (1)\beta (2)\qquad \qquad \beta (1)\alpha (2)$$

$$\phi _{1}= \alpha (1) \alpha (2)\qquad \qquad \phi _{2}= \beta (1) \beta (2)$$

$$\phi _{3}= \alpha (1) \beta (2)\qquad \qquad \phi _{4}= \beta (1) \alpha (2)$$

Pero tenemos conocimiento del momento de espín (modulo y componente z) asociado a cada uno de los electrones, pero el átomo como tal tendrá un momento de espín determinado, que será igualmente una magnitud vectorial. Lógicamente,

$$\vec{S} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2 = (s_{x1} + s_{x2}) \vec{i} +(s_{y1} + s_{y2}) \vec{j} + (s_{z1} + s_{z2}) \vec{k}$$

$$S_{z} = (s_{z1} + s_{z2}) \qquad \hbox{ y } \qquad [S_{z}, s_{zi}] = 0$$

luego si conocemos las componentes z de los momentos electrónicos, podemos conocer la componente $z$ del momento de espín total, que será la suma de las componentes $z$ de cada electrón, así para la primera función que corresponde a dos espines cuya componente $m_{s}=1/2$, la componente total será la suma de sus proyecciones $M_{s}=1$; la segunda función corresponde al caso contrario $m_{s}=-1/2$ para las dos funciones y $M_{s}=-1$, y las otras dos tendrán un $m_{s}=1/2$ y $m_{s}=-1/2$, por lo que $M_{s}=0$ en ambos casos. Pero estas dos funciones aplicadas por separado a dos electrones los haría distinguibles, por lo que es preciso aplicar como función de espín una combinación lineal de ellas.

$${1\over \sqrt{2}} [\alpha (1)\beta (2) \pm \beta (1)\alpha (2)]$$

Además está el motivo de que las funciones $\phi _{1}$ y $\phi _{2}$ son también funciones propias de $S^{2}$, mientras que las $\phi _{3}$ y $\phi _{4}$ no lo son, pudiendo obtenerse funciones propias de $S^{2}$ si se combinan, tal y como veréis en el siguiente problema: (Ver problema 2.6).

Bien, tenemos así cuatro posibles funciones de espín para dos electrones:

$$\begin{array}{lrc} \hbox{función} & M_S & S \hline \alpha ... ... [\alpha (1)\beta (2)-\beta (1)\alpha (2)] & 0 & 0 \end{array}$$

de las cuales las tres primeras son simétricas respecto a la permutación de los dos electrones, y son funciones propias de $S^{2}$ con valor propio $S=1$, y de $S_{Z}$ con $M_{S}=1,0,-1$ respectivamente, y la cuarta función es antisimétrica y también es función propia de $S^{2}$ y $S_{Z}$, con valores propios $S=0$ y $M_{S}=0$, como el lógico.

Las funciones totales para un sistema de dos electrones, como es el He, serán las formadas por el producto de las funciones espaciales por las de espín, pero tenemos un requisito, que es el que impone el principio de antisimetría de Pauli, el cual dice: La función de onda total de un conjunto de electrones (fermiones), debe ser antisimétrica con respecto al intercambio de cualquier par de electrones.

Esto implica que si tenemos una parte espacial simétrica, la parte de espín debe ser antisimétrica y viceversa. Y ahora ya podemos construir la función del estado fundamental y del estado excitado, cuya energía conocemos al igual que su parte espacial.

Estado fundamental:

$$\Psi = \phi _{1s}(1) \phi _{1s}(2) {1\over \sqrt{2}} [\alpha (1)\beta (2)-\beta (1)\alpha (2)]$$

Estado excitado de menor energía :

$$\Psi _{-} = {1\over \sqrt{2}}[a(1)b(2)-b(1)a(2)] \left\vert \... ...beta (1)\alpha (2)] \\ \beta (1) \beta (2) \end{array} \right.$$

Estado excitado de mayor energía :

$$\Psi _{+} = {1\over \sqrt{2}}[a(1)b(2)+b(1)a(2)] {1\over \sqrt{2}} [\alpha (1)\beta (2) - \beta (1)\alpha (2)]$$

Vemos que de la segunda función espacial tendré tres estados distintos, pero todos con la misma energía, siempre que no introduzca en el H términos que involucren al espín.

Una consecuencia de este principio de antisimetría es el principio de exclusión de Pauli: En un sistema no pueden existir dos electrones con el mismo conjunto de números cuánticos. Es decir que tengan la misma parte espacial y de espín., ya que si tenemos:

$$\Psi = \cdots \phi _{n_{i}l_{i}m_{li}m_{si}}(r_{i}) \cdots \p... ...j}) \cdots \stackrel{i\leftrightarrow j}{\longrightarrow} \Psi$$

entonces esa función es simétrica respecto al intercambio del electrón $i$ por el $j$.

Otra consecuencia es que el número de electrones que pueden tener la misma parte espacial, es decir que están definidos por un orbital que se caracteriza por sus números cuánticos $n$, $l$, $m_{l}$, es como máximo de dos, y además si hay dos, estos deben tener espines opuestos.