Determinantes de Slater.

Entonces, ya puedo escribir la función de onda completa para el estado fundamental como

$$\Psi ~={1\over \sqrt{2}} \pmatrix{\phi _{1s}(1)\alpha (1)\phi... ...}(2)\beta (2)&-&\phi _{1s}(1)\beta (1)\phi _{1s}(2)\alpha (2)}$$

o lo que es lo mismo en forma determinantal:

$$\Psi = {1\over \sqrt{2}} \left\vert \begin{array}{lr} \phi_{... ..._{1}^{\alpha}(2) & \phi_{1}^{\beta}(2) \end{array} \right\vert$$

Además, al producto de un orbital, o parte espacial por la función de espín se le denomina espín-orbital, y a la función escrita con estos espín-orbitales en la forma anterior se la denomina determinantes de Slater, y por las reglas de los determinantes, se puede comprobar el anterior principio de exclusión.

John Clark Slater (1900-1976)

Nacido en 1900 Oak Park, Illinois, USA.

En general para un sistema de $N$ electrones la función de onda antisimetrizada se escribirá, en término de espín orbitales, de la siguiente forma:

$$\Psi (1,2,\ldots n) = \left({1\over n!}\right)^{1/2} \left\ve... ..._1(n) & \phi_2(n) & \cdots & \phi_n(n) \end{array} \right\vert$$

$$\Psi (1,2,\ldots n) = \pmatrix{{1\over n!}}^{1/2} \left\vert \phi _{1}(1) \phi _{2}(2) \ldots . \phi _{n}(n)\right\vert$$

Cuando tenemos un número par de electrones, puede darse el caso de que todos estén apareados, con lo que puedo describir el sistema con la mitad de funciones espaciales, ya que los espín orbitales se pueden agrupar en dos:

y entonces tendré:

$$\Psi (1,2,\ldots n) = \pmatrix{{1\over n!}}^{1/2}\left\vert\p... ...} \ldots . \phi _{n/2}(n-1) \overline{\phi_{n/2}(n)}\right\vert$$

A un sistema así se le denomina de capa cerrada.

Funciones multideterminantales, p.e. la del triplete del helio excitado:

$$\Psi_- (1,2) = \left({1\over 2!}\right)^{1/2} \left[\phi_{1s... ...ht)^{1/2}\left[\alpha(1)\beta(2) + \beta(1)\alpha(2)\right] =$$

$${1\over 2!} \left[ \phi_{1s}^{\alpha}(1)\phi_{2s}^{\beta}(2)... ...pha}(2) - \phi_{2s}^{\beta}(1)\phi_{1s}^{\alpha}(2) \right] =$$

$$\left({1\over 2!}\right)^{1/2} \left({1\over 2!}\right)^{1/2... ...lpha}(2) - \phi_{2s}^{\alpha}(1)\phi_{1s}^{\beta}(2) \right] =$$

$$\left({1\over 2!}\right)^{1/2} \left( \left({1\over 2!}\rig... ...a}(2) & \phi_{2s}^{\alpha}(2) \end{array} \right\vert \right)$$