La Mecánica Cuántica.

Todos conocéis que la Mecánica Cuántica se basa en un conjunto de postulados, cuyo contenido no vamos a exponer, ni mucho menos analizar, pero si al menos recordar:

Para todo sistema aislado existe una función matemática, tal que en dicha función se contiene toda la información significativa del sistema. Se la suele denominar función de estado (funciones de onda) del sistema ($\Psi$).

Y es una función de las coordenadas de las partículas que componen el sistema, y del tiempo: $\Psi(q,t)$,

A cada variable dinámica $\alpha(q,p,t)$ se le asocia un operador lineal hermítico $A(q,p,t)$ de modo que las propiedades físicas de $\alpha$ se pueden deducir de las propiedades matemáticas de $A$.

Y para obtener los valores de esas propiedades:

Si la función que describe al sistema $\Psi$, es función propia del $\hat{A}$:

$$\hat{A} \Psi = a \Psi$$ (1.1)

El valor de la propiedad $\alpha$ es $a$.

Sea un sistema descrito por $\Psi$ , y sea $B$ un operador tal que $\Psi$ no es función propia de $B$, entonces el valor esperado del observable asociado a $B$, $\beta$, vendrá dado por la expresión:

$$\beta = <B> = \frac{<\Psi \mid B \mid \Psi >} {<\Psi \mid \Psi >}$$ (1.2)

Por último hay un postulado muy importante que liga la función de onda con el tiempo:

La función de estado viene ligada con el tiempo por la relación siguiente:

$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = i\hbar \dot{\Psi} ... ...} \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{1}{i \hbar} H \Psi$$ (1.3)

donde $H$ es el operador Hamiltoniano, que es el asociado con la energía del sistema.

Existen ciertos sistemas en los que H no depende del tiempo, estos sistemas se llaman estacionarios. En estos casos, ya que la energía cinética no depende del t, es en los que el potencial depende tan sólo de las coordenadas, y la función de onda $\Psi(q,t)$ se puede desdoblar como el producto de una función dependiente de las coordenadas y otra que dependa del tiempo.

$$\Psi(q,t) = \Psi_0(q) \varphi(t) \qquad H \Psi = H \Psi_0(q) \varphi(t) = \varphi(t) H \Psi_0(q)$$ (1.4)

Y se llega a dos ecuaciones:

$$\frac{i\hbar}{\varphi(t)} \frac{\partial \varphi(t)}{\partial t} = W \Longrightarrow \varphi(t) = C e^{-iWt/\hbar}$$

$$\frac{1}{\Psi_0(q)} H \Psi_0(q) = W \Longrightarrow H \Psi_0(q) = W \Psi_0(q) = E \Psi_0(q)$$

Esta es la ecuación de autovalores para estados estacionarios.

$$H \Psi_0(q) = E \Psi_0(q) \qquad \Psi = \Psi_0(q) e^{-iEt/\hbar}$$ (1.5)

La Química Cuántica trata sobre como resolver esta ecuación para sistemas de interés químico (átomos y moléculas).

Como ya sugeríamos antes, el problema surge porque su resolución es muy complicada y se precisan ciertas aproximaciones.

También es bueno recordar unos principios muy importantes en la Química Cuántica:

• El de incertidumbre ( $\Delta a \cdot \Delta b \geq \frac{1}{2}[A,B]$         ó          $\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \frac{1}{2} \hbar$)

• El de correspondencia de Bohr

• El principio de superposición de estados (a veces éste se presenta como un postulado de la Mecánica Cuántica)

  Cualquier función de onda de un sistema admite ser escrita como combinación lineal de un conjunto completo de funciones de onda bien condicionadas.

  
  
  $$\Phi = \sum_i C_i \Psi_i$$
  
  

  Un estado superpuesto como combinación lineal de otros estados, quiere decir que al hacer una observación de ese estado, la probabilidad de que la medida me dé el valor correspondiente a alguno de los estados combinación $\Psi_i$, es $C_i^* \cdot C_i$, siendo $C_i$ el coeficiente que multiplica a la función de dicho estado en el desarrollo del estado superpuesto.

  
  
  $$C_i = <\Psi_i\vert\Phi>$$
  
  

Alguna nota más sobre las funciones de onda:

Dependen de las coordenadas espaciales, de la coordenada de espín de cada electrón y del tiempo.

Y deben de cumplir el principio de antisimetría de Pauli (Deben ser antisimétricas respecto al intercambio de dos electrones cualesquiera).