Ejemplo de los OMs de simetría formados con los OAs $p_z$ del benceno

Operaciones de simetría de molécula:

$$C_6, C_6^5, C_3, C_3^2, C_2^z, C_2^{(1)}, C_2^{(2)}, C_2^{(3)}, C_2'^{12}, C_2'^{23}, C_2'^{34},$$

$$\sigma_h, \sigma_v^{(1)}, \sigma_v^{(2)}, \sigma_v^{(3)}, \si... ... \sigma_v'^{(23)}, \sigma_v'^{(34)}, S_5, S_6^5, S_3, S_3^2, i$$

Que forman el grupo $D_{6h}$, cuya tabla de caracteres es la siguiente:

$$\begin{array}{l\vert rrrrrrrrrrrr\vert l} D_{6h} & E & 2C_6 &... ...& -1& -1& 2& 0& 0& -2& 0& 0& 1& 1& -2 & \\ \hline \end{array}$$

Carácter de la representación de este grupo para esta base de orbitales atómicos:

$$\begin{array}{l\vert rrrrrrrrrrrr\vert l} D_{6h} & E & 2C_6 &... ... & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & -6 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$$

Número de representaciones irreducibles que tiene esta representación reducible:

$$n_{A_{1g}} = \frac{1}{24}(6 + 0 + 0 + 0 - 2\cdot 3 \cdot 1 + 0 -6\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 3 \cdot 1 + 0 + 0 + 0 + 0 ) = 0$$

$$n_{A_{1u}} = \frac{1}{24}(6 - 2\cdot 3 \cdot 1 + 6\cdot 1\cdot 1 - 2\cdot 3 \cdot 1 ) = 0$$

$$n_{A_{2g}} = n_{B_{1g}} = n_{B_{1u}} =n_{B_{2u}} = n_{E_{1u}} = n_{E_{1g}} = 0$$

$$n_{A_{2u}} = n_{B_{2g}} = n_{E_{1g}} = n_{E_{2u}} = 1$$

Luego tendremos:

$$\Gamma_{p_z} = A_{2u} \oplus B_{2g} \oplus E_{1g} \oplus E_{2u}$$

Obtengamos a continuación los proyectores de estas representaciones irreducibles:

$$P_{A_{2u}} = \frac{1}{24}\left( E + C_6+ C_6^5+ C_3+ C_3^2+ C... ...C_2^{(2)}- C_2^{(3)}- C_2'^{12}- C_2'^{23}- C_2'^{34}- \right.$$

$$\left. \sigma_h+ \sigma_v^{(1)}+ \sigma_v^{(2)}+ \sigma_v^{(3... ...v'^{(23)}+ \sigma_v'^{(34)}- S_5- S_6^5- S_3- S_3^2- i \right)$$

Si lo aplicamos a una función cualquiera, p.e.: $p_{z1}$:

$$P_{A_{2u}} p_{z1} = \frac{1}{24}\left( p_{z1} + p_{z2} + p_{z... ...p_{z4} + p_{z1} + p_{z3} + p_{z5} + p_{z2} + p_{z4} + \right.$$

$$\left. p_{z6} + p_{z1} + p_{z1} + p_{z3} + p_{z5} + p_{z2} + ... ...+ p_{z6} + p_{z2} + p_{z6} + p_{z3} + p_{z5} + p_{z4} \right)$$

$$P_{A_{2u}} p_{z1} = \frac{1}{6}\left( p_{z1} + p_{z2} + p_{z3} + p_{z4} + p_{z5} + p_{z6} \right)$$

Igualmente:

$$P_{B_{2g}} p_{z1} = \frac{1}{6}\left( p_{z1} - p_{z2} + p_{z3} - 2p_{z4} + p_{z5} - p_{z6} \right)$$

Las bidimensionales los proyectaremos sobre dos orbitales atómicos:

$$P_{E_{1g}} p_{z1} = \frac{1}{6}\left(2p_{z1} + p_{z2} - p_{z3} - 2p_{z4} - p_{z5} + p_{z6} \right)$$

$$P_{E_{1g}} p_{z2} = \frac{1}{6}\left( p_{z1} +2p_{z2} + p_{z3} - p_{z4} -2p_{z5} - p_{z6} \right)$$

Estos dos orbitales moleculares no son ortogonales, pero podemos formar las combinaciones suma y diferencia, que sí serán ortogonales.

$$e_{1g} = \frac{1}{2}\left( p_{z1} + p_{z2} - p_{z4} - p_{z5} \right)$$

$$e_{1g} = \frac{1}{6}\left( p_{z1} - p_{z2} -2p_{z3} - p_{z4} + p_{z5} +2p_{z6} \right)$$

Por último nos quedan los otros dos $E_{2u}$:

$$e_{2u} = \frac{1}{2}\left( p_{z1} - p_{z2} + p_{z4} - p_{z5} \right)$$

$$e_{2u} = \frac{1}{6}\left( p_{z1} + p_{z2} -2p_{z3} + p_{z4} + p_{z5} -2p_{z6} \right)$$

Y a partir de la consideración del número de nodos, podemos incluso hablar de su estabilidad relativa:

$$a_{2u} < e_{1g} < e_{2u} < b_{2g}$$