Ejemplo de los OMs de simetría formados con los OAs $s$, $p_x$, $p_y$, $p_z$, $1s_1$ y $1s_2$ del $H_2O$

Operaciones de simetría de molécula:

$$E, C_2, \sigma_v, \sigma_v'$$

Que forman el grupo $C_{2v}$, cuya tabla de caracteres es la siguiente:

$$\begin{array}{l\vert rrrrrr\vert l} C_{2v} & E & C_2 & \sigma... ...1& -1& 1& -1& \\ B_{2} & 1& -1& -1& 1& \\ \hline \end{array}$$

Carácter de la representación de este grupo para esta base de orbitales atómicos:

$$\begin{array}{l\vert rrrr\vert l} C_{2v} & E & C_2 & \sigma_v... ...1s_1 & 1s_2 \\ \hline \Gamma & 6 & 0 & 2 & 4 \\ \end{array}$$

Número de representaciones irreducibles que tiene esta representación reducible:

$$n_{A_{1}} = \frac{1}{4}(6 + 0 + 2 + 4 ) = 3$$

$$n_{A_{2}} = \frac{1}{4}(6 + 0 - 2 - 4 ) = 0$$

$$n_{B_{1}} = \frac{1}{4}(6 - 0 + 2 - 4 ) = 1$$

$$n_{B_{2}} = \frac{1}{4}(6 - 0 - 2 + 4 ) = 2$$

Por lo tanto:

$$\Gamma= A_{1} \oplus A_{1} \oplus A_1 \oplus B_{1} \oplus B_2 \oplus B_2$$

Obtengamos a continuación los proyectores de estas representaciones irreducibles:

$$P_{A_{1}} = \frac{1}{4}\left( E + C_2 + \sigma_v + \sigma_v' \right)$$

$$P_{B_{1}} = \frac{1}{4}\left( E - C_2 + \sigma_v - \sigma_v' \right)$$

$$P_{B_{2}} = \frac{1}{4}\left( E - C_2 - \sigma_v + \sigma_v' \right)$$

Si lo aplicamos a cualesquiera funciones de base:

$$P_{A_{1}} s = s \qquad \qquad P_{A_{1}} p_z = p_z$$

$$P_{A_{1}} p_x = 0 \qquad \qquad P_{A_{1}} s_1 = \frac{1}{2} (s_1 + s_2)$$

Igualmente:

$$P_{B_{1}} s = 0 \qquad \qquad P_{B_1} p_x = p_x$$

$$P_{B_{2}} s = 0 \qquad \qquad P_{B_{2}} p_{x} = 0$$

$$P_{B_{2}} p_y = p_y \qquad \qquad P_{B_{2}} s_1 = \frac{1}{2} (s_1 - s_2)$$