Momentos multipolares. Potenciales electrostáticos moleculares

Se introducen a partir de la expresión del potencial $V({\bf R})$ creado por la distribución de carga electrónica $\rho({\bf r})$ en el punto ${\bf R}$:

$$V({\bf R})=\int\rho({\bf r})\vert{\bf R}-{\bf r}\vert^{-1}d{\bf r}$$ (3.64)

Expandiendo $\vert{\bf R}-{\bf r}\vert^{-1}$ en serie de Taylor respecto al origen ${\bf r}=0$:

$$\vert{\bf R}-{\bf r}\vert^{-1} = \frac{1}{R} + \sum_{i}\left... ...ac{1}{\vert{\bf R}-{\bf r}\vert} \right)_{0}r_{i}r_{j} +\cdots$$ (3.65)

Usando este desarrollo, el potencial puede expandirse en potencias inversas de $R$:

$$V({\bf R}) = \sum_{l=0}^{\infty} V_l({\bf R})$$ (3.66)

$$V_l({\bf R}) = \frac{(-1)^{l}}{l!}\sum_{ijk...}T_{ijk..}^l({\bf R}) \int \rho({\bf r})r_ir_jr_k...d{\bf r}$$ (3.67)

• Los tensores de interacción de orden l se definen como: $T=R^{-1}$, $T_{i}=\nabla_{i}R^{-1}$, $T_{ij}=\nabla_{i}\nabla_{j}R^{-1}$,...

• La carga total : q = $\int \rho({\bf r})d{\bf r}$.

• Las componentes del momento monopolar son : $\mu_{i}= \int\rho({\bf r}) r_{i}d{\bf r}$.

• Las componentes del momento cuadrupolar vienen dadas por:

  $\theta_{ij} = \frac{1}{2}\int\rho({\bf r})(3r_{i}r_{j}- r^{2}\delta_{ij})d{\bf r}$.