Funciones de onda del átomo de hidrógeno.

Para obtener la función de onda, debemos transformar de nuevo $T(\rho )$ a $R(r)$, y esa transformación es por medio de una constante, que vamos a englobar en la constante de normalización (recordad que $\rho = 2\alpha r = Cte* r$).

$$\bgroup\color{blue} R(r) = N_{nl} T(\rho ) \egroup$$

Para obtener este factor de normalización integraría :

$$\bgroup\color{blue} \int^{\infty }_{0} R^{2}(r) r^{2} dr = 1 \egroup$$

y se obtiene:

$$\bgroup\color{blue} N_{nl} = -\left[\left( {2Z\over na_{0}}\r... ...^{3} {(n- l-1)!\over 2n[(n+l)!]^3}\right]^{\frac{1}{2}} \egroup$$

que como vemos depende de $n$ y de $l$, luego la función $R(r)$ debe llevar dos subíndices el n y el l, $R_{nl}(r)$:

$${\color{blue} {\cal R}_{nl}(r)} = {\color{blue} -\sqrt{\left( \frac{2Z}{na_0}\right)^3 \frac{(n-l-1)!} {2n[(n+1)!]^3}} \rho^l {\cal L}_{n+l}^{2l+1}(\rho) e^{-\frac{1}{2}\rho} }$$

$$\rho = \frac{2Zr}{na_0} = 2 \alpha r$$

$${\cal L}_r^s(\rho) = \frac{d^s}{d\rho^s} \left( e^\rho \frac{d^r}{d\rho^r} \rho^r e^{-\rho}\right)$$

$${\color{blue} n} {\color{blue}\geq} {\color{blue}l + 1}$$

Como ejemplo, para la función $R_{10}(r)$ tendremos:

$$\bgroup\color{blue} R_{10}(r) = N_{10} T(\rho )\qquad / \left(\rho = {2Zr\over n a_{0}}\right) \qquad \rho = 2 \alpha r \egroup$$

$$\bgroup\color{blue} R_{10}(r) = - \left[ \left( {2Z\over a_{0... ...1}{2}} \rho^{0} L^{1}_{1}(\rho ) e^{-\frac{1}{2} \rho } \egroup$$

$$\bgroup\color{blue} L^{1}_{1}(\rho ) = {d\over d\rho } \left(... ...\rho e^{-\rho })\right] = {d\over d\rho } (1-\rho ) = -1\egroup$$

$$\bgroup\color{blue} R_{10}(r) = - \left[\left({2Z\over a_{0}}... ... (1!)^3}\right]^{\frac{1}{2}} (-1) e^{-\frac{1}{2}\rho }\egroup$$

$$\bgroup\color{blue} R_{10}(r) = 2 \left( {Z\over a_{0}}\right... ... \left({Z\over a_{0}}\right)^{3/2} e^{-\frac{Zr}{n a_0}}\egroup$$

La siguiente tabla muestra las funciones radiales para diversos valores de $n$ y l, tomada de H. Eyring, J. Walter y G.E. Kimball, Quantum Chemistry. Ed. John Wiley, N.Y. 1944:

${\cal R}_{1,0}$	=	${\cal R}_{1s} = 2\left( \frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} e^{-Zr/a_0}$
${\cal R}_{2,0}$	=	${\cal R}_{2s} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} \left( 1 -\frac{Zr}{2a_0} \right) e^{-Zr/2a_0}$
${\cal R}_{2,1}$	=	${\cal R}_{2p} = \frac{1}{2\sqrt{6}}\left( \frac{Z}{a_0}\right)^{5/2} r e^{-Zr/2a_0}$
${\cal R}_{3,0}$	=	${\cal R}_{3s} = \frac{2}{81\sqrt{3}}\left( \frac{Z}{a_0}\... ...left( 27 - \frac{18Zr}{a_0} + \frac{2Z^2r^2}{a_0^2}\right) e^{-Zr/3a_0}$
${\cal R}_{3,1}$	=	${\cal R}_{3p} = \frac{4}{81\sqrt{6}}\left( \frac{Z}{a_0}\right)^{5/2} \left( 6 - \frac{Zr}{a_0}\right) r e^{-Zr/3a_0}$
${\cal R}_{3,2}$	=	${\cal R}_{3d} = \frac{4}{81\sqrt{30}}\left( \frac{Z}{a_0}\right)^{7/2} r^2 e^{-Zr/3a_0}$

Y ahora ya en forma completa, las funciones de onda de los estados hidrogenoides, vendrán dadas por la expresión:

$$\bgroup\color{green4} \Psi _{nlm}(r,\theta ,\varphi ) = {\cal R}_{n,l}(r) Y_{lm}(\theta ,\varphi ) \egroup$$

$$\bgroup\color{green4} \Psi _{nlm}(r,\theta ,\varphi ) = - \le... ...} \rho ^{l} L^{2l+1}_{n+l}(\rho ) e^{-\frac{1}{2}\rho } \egroup$$

$$\bgroup\color{green4} {1\over 2^{l}l!} \left[\matrix{{(2l+1)(... ...}} {\cal P}_{ m_{l}}(\cos \theta ) e^{{\rm im}\varphi } \egroup$$

que son funciones propias de $H$, $L^{2}$ y de $L_{z}$, con los siguientes valores propios:

$$\bgroup\color{green4} E = - {Z^{2}e^{2}\over 2a_{0}n^{2}} \egroup$$

$$\bgroup\color{green4} \left\vert\matrix{L}\right\vert = \hbar [l(l+1)]^{\frac{1}{2}}\qquad L_{z} = m \hbar \egroup$$

y a los números $n$, $l$ y $m$ se les denomina números cuánticos, al primero PRINCIPAL, el segundo ORBITAL y el tercero MAGNÉTICO, y ya conocéis sus restricciones :

$$\bgroup\color{green4} n = 1,2,3,\cdots \qquad l=0,1,2,\cdots \qquad 0 \le l \le n-1 \qquad \vert m\vert \le l \egroup$$

Estas funciones se denominan orbitales. El nombre se lo deben a Mülliken, y se extiende a cualquier función mono-electrónica, no solo en el caso de sistemas con un único electrón, sino para cualquier otro sistema atómico o molecular.

Los orbitales están definidos por los tres números cuánticos: $n$, $l$ y $m_{l}$. Los de un mismo $n$ forman una capa $n=1 \rightarrow K$ , $n=2 \rightarrow L$, $\ldots M, N,$ (Dado que la energía depende sólo de $n$, los orbitales de una capa tienen la misma energía); a los de un mismo $l$ se dice que están en una misma subcapa : $l=0 \rightarrow s$, $l=1 \rightarrow p$, $l=2 \rightarrow d$, $l=3 \rightarrow f$, $\ldots$ y luego pues se explicita a su vez el número $m$, así $p_{-1}$ o $p_{+1}$ o $p_{0}$.

Estas funciones tienen una parte imaginaria en los armónicos esféricos, por lo que habitualmente se trabaja con funciones de onda reales, con los armónicos esféricos reales ya vistos, y así usualmente se denominan con el número $n$, la letra asociada a $l$, y el subíndice de la proyección del armónico esférico, p.e: $2p_{x}$, $2p_{y}$ , $2p_{z}$, $3d_{xz}$, $3d_{x^2 - y^2}$, $3d_{xy}$, $3d_{zy}$, $3d_{z^2}$.

$$\bgroup\color{green4}\begin{array}{\vert lcl\vert} \hline \P... ...2a_0} \sin \theta \sin \varphi \\ \hline \end{array} \egroup$$

$$\bgroup\color{green4}\begin{array}{\vert lcl\vert} \hline \P... ...a_0} \sin^2 \theta \sin 2\varphi \\ \hline \end{array} \egroup$$