Orbitales hidrogenoides y densidad electrónica.

Comentemos algo la solución completa de los átomos hidrogenoides. En principio, el cuadrado del modulo de la función está relacionada con la densidad de probabilidad, en el sentido de que el electrón, definido por el orbital $\Psi _{nlm_{l}}(r,\theta ,\varphi )$, se encuentre en un elemento de volumen infinitesimal $d\tau$ localizado en el punto $(r, \theta , \varphi )$ , es:

$$\bgroup\color{green4} \mid \Psi \mid ^{2} = \Psi ^{*}\Psi = \mid \Psi _{nlm_{l}}(r,\theta ,\varphi )\mid ^{2} \egroup$$

En coordenadas polares

$$\bgroup\color{green4} d\tau = r^{2} dr\hbox{ sen}\theta d\theta d\varphi \egroup$$

y así la probabilidad de encontrar el electrón en una capa esférica de grosor $dr$ y a una distancia $r$ del núcleo será la integral en $\theta$ y $\varphi$ sobre todos sus posibles valores:

$$\bgroup\color{green4} \int^{\pi }_{\theta=0} d\theta \int^{2... ...arphi )\mid ^{2} r^2 \sin{\theta} d\theta d\varphi dr = \egroup$$

$$\bgroup\color{green4} \int^{\pi }_{\theta=0} d\theta \int^{2\... ...arphi dr = {\color{blue} r^2 \mid R_{nl}(r) \mid ^2} dr \egroup$$

a la cantidad $r^{2} \mid R_{nl}(r) \mid ^2$ se la denomina función de distribución radial, y proporciona la probabilidad de encontrar el electrón descrito por la función $R_{nl}(r)$ en una esfera de radio interior $r$ y exterior $r+dr$. Lógicamente, la integral de dicha función de distribución radial entre $0$ e $\infty$ me dará la probabilidad de encontrar el electrón en el espacio, que será $1$.

En esta dirección tenéis una representación de los orbitales y de sus distribución radial: http://www.falstad.com/qmatom/

La distancia más probable será aquella para la que tenga el máximo, y para el $1s$, este máximo se da a una distancia que es precisamente el radio de la órbita de más baja energía de la teoría de Bohr.

En la gráfica tenéis otras representaciones para los orbitales $2s$, en las que se ve como aparece un nodo (en la $3s$ aparecerían dos), y como el mayor máximo se desplaza a distancias mayores del núcleo. El número de nodos es n-1.

La representación de la función de distribución radial para los $2p$, $3p$ y $3d$ están en las otras gráficas, y vemos como aparecen $n-l-1$ nodos.

La forma en que se representan los orbitales atómicos es variada, las más usuales son las de emplear diagramas de sombreado proporcionales a la amplitud de la probabilidad, o representar la superficie para las cuales se tiene que dentro de ellas la probabilidad de encontrar el electrón es del $90\%$, o el $99\%$.

Respecto a la forma de los orbitales, los $p$, ya no tienen una simetría esférica como los $s$, si bien el orbital $p_{z} (m_{l}=0)$ no presenta dependencia en $\varphi$ , y tiene simetría respecto al eje $z$, y es a lo largo de este eje donde presenta su máxima probabilidad. La forma de estos orbitales, así como la de algunos d están en cualquier libro de texto (Ver p.e. el Atkins, o figuras del cap. 6 del Levine.) ^3.1

Tabla 3.1: Representación de los armónicos esféricos reales, tomados de la página http://web.uniovi.es/qcg/harmonics/harmonics.html del Grupo de Química Cuántica de la Univ. de Oviedo

	$m_l=-3$	$m_l=-2$	$m_l=-1$	$m_l=0$	$m_l=1$	$m_l=2$	$m_l=3$
$l=0$
$l=1$
$l=2$
$l=3$