Pedro Grimalt Ivars Departament d'Anàlisi Matemàtica i Matemàtica aplicada Departamento de Análisis Matemático y Matemática Aplicada

INTRODUCCIÓN A LA BIOMATEMÁTICA

CONTENIDO DEL PROGRAMA
Tema 1. Biomatemática y generalidades sobre modelos

Introducción histórica de la Biomatemática . Definición y clasificación de modelos. Las grandes técnicas de modelación. Análisis compartimental. Los sistemas con difusión, convección-reacción. Simulación pura. Las dificultades de la modelización. Qué se puede modelizar en Biología y en Medicina. Modelos determinísticos y sus implicaciones con las ecuaciones diferenciales.

Tema 2. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Modelos determinísticos)

Definición de ecuación diferencial (E.D.). Nomenclatura y ejemplos. Origen de las E.D. Clasificación de las E.D. (a) según el tipo, (b) según el orden, (c) según la linealidad o la no linealidad. Estudio de las E.D. de primer orden. Condiciones básicas para la existencia y la unicidad de soluciones asociadas al problema del valor inicial. Técnicas de resolución de las E.D. de primer orden. Estudio particular de las E.D. de segundo orden. Las E.D. lineales de orden n. Técnicas de resolución. Breve estudio de la resolución de las E.D. lineales de segundo orden por series.

Tema 3. Las E.D. en el contexto de la Biología y Medicina.

Introducción . Modelos poblacionales de crecimiento. Modelos lineales (Malthus). Modelos no lineales (Verhulst). Ecuación y curva logística. Observaciones importantes. Algunas aplicaciones en Demografía. Modificaciones de la ecuación logística. Propagación de una enfermedad  contagiosa. El modelo de Gompertz. Aplicaciones al tratamiento de tumores cancerosos. El modelo de Bertalanffy. Aplicaciones a la acuicultura (Ecuación alométrica). Aplicaciones de las E.D. de segundo orden a la Física y a la Medicina.

Tema 4. Sistemas de E.D. lineales

Generalidades sobre sistemas. Definición y nomenclatura. Condiciones básicas para la existencia y unicidad de soluciones asociadas al problema del valor inicial. Clasificación de los sistemas lineales: homogéneos y no homogéneos. Métodos de resolución. Reducción, Euler, Operadores, Matricial, Transformada de Laplace. La función Delta de Dirac. Aplicaciones.

Tema 5. Aplicaciones de los sistemas a la Biología y Medicina.

Introducción. El problema general de las dos especies. Especies en simbiosis y competición. Depredador-presa (Modelo de Lotka-Volterra). Resolución cualitativa. Linealización . Otros modelos más generales. Críticas al modelo de Lotka-Volterra. Otras aplicaciones de los sistemas. El Principio de exclusión competitiva en Biología de Poblaciones. Aplicaciones a la Medicina (epidemiología, propagación de la gonorrea).

Tema 6. Introducción a las Ecuaciones en Diferencias Finitas

Generalidades. Definición y nomenclatura. Aproximación de las ecuaciones en diferencias a las E.D. Clasificación. Estudio de la ecuación en diferencias finitas de primer orden. Ecuaciones de orden superior. Sistemas de ecuaciones en diferencias. Aplicaciones (Biología y Ciencias Sociales).

Tema 7. Las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

Generalización de las E.D. ordinarias. Origen de las E.D. en derivadas parciales. La ecuación del calor (difusión). La ecuación de ondas (vibraciones mecánicas). La ecuación de Laplace (ecuación del Potencial). Técnicas de resolución . Los problemas de la difusión y convectión. Aplicaciones a la Biología y Medicina.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1. Cherruault, Yves. “Biomathematiques. ¿Que. Sai-je?”. Edit. Presses Universitaire de France. 1983
2. Kent, Nagle-Saff Edware, B. “Fundamentos de ecuaciones diferenciales”. Edit.Iberoamericana. 1992
3. Marcus, Daniel. “Ecuaciones diferenciales”. Edit. CECSA. 1993
4. Murria, J.D. “Mathematical Biology”. Edit. Springer-Verlag. 1995
5. Simmons, G.F.”Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas”. Edit. Mac Graw-Hill.
6. Valdivia Ureña. “Análisis Matemático III” Edit. UNED. Madrid 1976
7. Volterra, Vito. “Lecons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie”. Edit. Gautier-Villar. París 1931
8. Zill, Dennis. “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones “ Edit. Iberoamericana

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
1. Braun, M “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. Edit. Iberoamericana.
2. Golberg, S. “Introducción a las ecuaciones en diferencias finitas”. Edit. Morcambo. 1964
3. Hirsch, M.W. and Smale, S. “Ecuaciones diferenciales. Sistemas dinámicos y Álgebra lineal”. Alianza Editorial. 1983
4. Pérez de Vargas y Martínez C. “Métodos matemáticos en Biología”. Editorial Centro Ramón Areces S.A. Madrid 1993
5. Makarenko, G. Y otros. “Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias”. Edit. Mir 1988
6. Takahshi, T. “Ecuaciones en diferencias finitas con aplicaciones” Grupo de Editorial Iberoamericana. 1990